Μας κάνανε τη ζωή ..ποδήλατο!!

Δύο ποδηλάτες Α και Β  κινούνται σε κυκλική πίστα έτσι ώστε να είναι συνεχώς δίπλα –δίπλα. Ο Α έχει ταχύτητα u₁=6m/s  και ακτίνα R₁=50m, ενώ ο Β κινείται σε κύκλο ακτίνας R₂=52m. Τα ποδήλατα είναι πανομοιότυπα, και η ρόδα έχει ακτίνα R=0,4m. Η αλυσίδα είναι σε γρανάζια  ακτίνων  r₁=4cm (το γρανάζι της πίσω ρόδας) και r=12cm το γρανάζι των πεντάλ, και η απόσταση των πεντάλ από τον άξονα περιστροφής τους είναι ρ=20cm.   

1. Να υπολογίσετε την ταχύτητα u₂ του ποδηλάτη Β.

2. Να υπολογίσετε τις κεντρομόλους επιταχύνσεις των ποδηλάτων

3. Να υπολογίσετε τις συχνότητες περιστροφής των πεντάλ.

4. Πόσο διάστημα διανύει ο κάθε ποδηλάτης σε κάθε πεταλιά.

Κάποια στιγμή ο Α ,αλλάζει ταχύτητα μετακινώντας την αλυσίδα σε γρανάζι της πίσω ρόδας, που έχει ακτίνα r₂=3cm, και αφού κάνει 10 πλήρεις πεταλιές, έτσι ώστε η ταχύτητά του να αυξάνεται με σταθερό ρυθμό και να γίνει u₁’=10m/s  .

5. Να υπολογίσετε σε πόσο χρόνο θα ξανασυναντήσει τον Β.

Απάντηση: 

Μετά την επιτάχυνση, ακολουθεί κρούση.

Ένα σώμα Α ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Σε μια στιγμή t₀=0, στο σώμα ασκείται μια σταθερή οριζόντια δύναμη μέτρου F=2Ν, μέχρι τη στιγμή t₁=3s, όπου και παύει να ασκείται. Μετά από 2s, το σώμα Α συγκρούεται με ακίνητο σώμα Β, μάζας 4kg, το οποίο μετά την κρούση αποκτά ταχύτητα μέτρου υ₂=2m/s στην κατεύθυνση της δύναμης F.

i)   Να υπολογιστεί η ορμή του σώματος Α τη στιγμή t₁.

ii)  Πόση είναι η μεταβολή της ορμής του σώματος Α από τη στιγμή t₁ έως ελάχιστα πριν την κρούση;

iii) Να υπολογιστεί η ορμή του σώματος Α αμέσως μετά την κρούση.

iv) Να εξετάσετε αν οι  δυνάμεις που ασκούνται στα σώματα στη διάρκεια της κρούσης είναι ή όχι συντηρητικές, αν το σώμα Α έχει μάζα 2kg.

Απάντηση:

ή

Μετά την επιτάχυνση, ακολουθεί κρούση.

Το μπαλάκι και η πλατφόρμα. Μια άσκηση διατήρησης ορμής και ενέργειας.

Το γκρίζο μπαλάκι έχει μάζα 1kg.

Είναι δεμένο σε αβαρές νήμα μήκους 0,6 m στο οριζόντιο σύρμα.

Αφήνεται να κινηθεί από θέση τέτοια ώστε το νήμα να είναι οριζόντιο και κάθετο στο σύρμα.

Η πλατφόρμα έχει μάζα 3kg και τα σύρματα αμελητέες μάζες.

Το οριζόντιο δάπεδο είναι λείο.

1. Όταν το μπαλάκι θα βρεθεί στην κατώτερη θέση της τροχιάς του βρείτε τις ταχύτητες μπαλακίου και πλατφόρμας.

2. Σε ποιο ύψος θα φτάσει το μπαλάκι ανεβαίνοντας;

Απάντηση:

Η κυκλική κίνηση, η οριζόντια βολή και η ορμή.

Ένα σώμα μάζας 0,5kg είναι δεμένο στο άκρο νήματος μήκους 0,5m και διαγράφει κατακόρυφη κυκλική τροχιά κέντρου Ο. Τη στιγμή που βρίσκεται στο ανώτερο σημείο της τροχιά του Α, έχει ταχύτητα υ₁=4m/s, όπως στο σχήμα.

i) Να βρεθεί η ορμή και ο ρυθμός μεταβολής της ορμής στη θέση Α.

ii) Να υπολογιστεί επίσης η ορμή του σώματος στο κατώτερο σημείο της τροχιάς Β.

iii) Να υπολογιστούν μεταξύ των θέσεων Α και Β:

 α) Η μεταβολή της ορμής του σώματος.

 β) Η μεταβολή του μέτρου της ορμής.

iv) Τη στιγμή που φτάνει το σώμα στη θέση Β, το νήμα κόβεται. Μετά από χρονικό διάστημα t₁=0,6s το σώμα βρίσκεται στο σημείο Γ, χωρίς να έχει φτάσει στο έδαφος.

α) Να υπολογιστεί η ορμή και ο ρυθμός μεταβολής της ορμής στη θέση Γ.

β) Ποια η μεταβολή της ορμής μεταξύ των θέσεων Β και Γ;

Απάντηση:

 ή

Η κυκλική κίνηση, η οριζόντια βολή  και η ορμή.

Με την περιστροφή το νήμα τυλίγεται.

Ένα σώμα μάζας 0,4kg είναι δεμένο στο άκρο νήματος και στρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο, ενώ το νήμα τυλίγεται σε έναν ακλόνητο οριζόντιο κυλινδρικό σωλήνα ακτίνας r=0,6/π m. Σε μια στιγμή το νήμα είναι κατακόρυφο και το σώμα έχει ταχύτητα μέτρου υ₁=5m/s, (θέση (1)) ενώ το ελεύθερο μήκος του νήματος είναι ℓ₁=2m.

i)  Να βρεθεί η τάση του νήματος στη θέση αυτή.

ii) Μετά από λίγο το νήμα ξαναγίνεται κατακόρυφο, θέση (2). Για τη θέση αυτή να βρεθούν:

α) Το μήκος του νήματος ℓ₂.

β) Η κινητική ενέργεια του σώματος.

γ) Το μέτρο της τάσης του νήματος.

iii)  Όταν το σώμα ολοκληρώσει μια «περιστροφή» με το νήμα κατακόρυφο, για το μέτρο της ταχύτητά του υ₃ ισχύει:

α) υ₃ < υ₁,   β) υ₃ = υ₁,   γ) υ₃ > υ₁.

Να δικαιολογήστε την απάντησή σας.

Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10m/s².

 Απάντηση:

ή

	Με την περιστροφή το νήμα τυλίγεται.

Μια φορτισμένη σφαίρα σε κίνηση.

Ή για να συνδέουμε τα …ασύνδετα!

Ένα πρόβλημα, σαν φύλλο εργασίας, για τους μαθητές της Β΄ Προσανατολισμού, όπου συνδυάζεται η κυκλική κίνηση, με το ηλεκτρικό πεδίο της Γενικής Παιδείας, αλλά και με πολλές ακόμη προεκτάσεις.

////////////////////////////

Σε ένα σημείο Ο ενός λείου οριζοντίου επιπέδου είναι στερεωμένη μια μικρή σφαίρα Α με φορτίο Q=2μC. Σε σημείο Σ, σε απόσταση (OΣ)= r=3cm συγκρατούμε μια άλλη μικρή σφαίρα Β μάζας m=60g, η οποία φέρει φορτίο q=-0,1μC.

i)  Να υπολογίστε την δύναμη που χρειάζεται να ασκούμε στη σφαίρα Β για να ισορροπεί και να την σχεδιάστε στο παραπάνω σχήμα.

ii) Σε μια στιγμή αφήνουμε ελεύθερη τη σφαίρα Β. Πόση επιτάχυνση θα αποκτήσει αμέσως μετά την απελευθέρωση;

iii) Επαναφέρουμε τη σφαίρα Β στο σημείο Σ και κάποια στιγμή την εκτοξεύουμε οριζόντια με ταχύτητα υ₁=0,5m/s σε διεύθυνση κάθετη στην ΟΣ, όπως στο διπλανό σχήμα.

α) Να υπολογίσετε την επιτάχυνση που θα αποκτήσει αμέσως μετά την εκτόξευση και να την σχεδιάστε στο σχήμα.

β) Η επιτάχυνση αυτή, αμέσως μετά την εκτόξευση, θα μεταβάλει το μέτρο ή την κατεύθυνση της ταχύτητας;

γ) Κάποιος συμμαθητής σας, υποστηρίζει ότι η σφαίρα Β θα εκτελέσει ομαλή κυκλική κίνηση με κέντρο το Ο και ακτίνα r=3cm. Συμφωνείτε ή διαφωνείτε και γιατί;

iv) Να υπολογίστε το μέτρο της αναγκαίας ταχύτητας εκτόξευσης υ₂, ώστε η σφαίρα να κινηθεί κυκλικά γύρω από το Ο.

v) Στην περίπτωση αυτή να υπολογιστεί η ολική ενέργεια της κινούμενης σφαίρας Β.

vi) Καθώς η σφαίρα Β στρέφεται, δέχεται ένα απότομο κτύπημα (σε γλώσσα φυσικής ασκείται πάνω της για ελάχιστο χρονικό διάστημα μια δύναμη ή διαφορετικά συγκρούεται με κάποιο άλλο σώμα), με αποτέλεσμα να αποκτήσει μια ταχύτητα μέτρου υ₃, οπότε παύει να κινείται στην κυκλική τροχιά και απομακρύνεται από τη σφαίρα Α. Όταν η Β βρεθεί τελικά έξω από το ηλεκτρικό πεδίο της σφαίρας Α, μετρήσαμε την ταχύτητά της και την βρήκαμε υ₄=1m/s. Πόση  ενέργεια πήρε η Β στη διάρκεια του κτυπήματος;

vii) Να υπολογιστεί η ελάχιστη ενέργεια που πρέπει να μεταφερθεί στην Β, για να μπορέσει να απομακρυνθεί από τη σφαίρα Α, η οποία παραμένει πάντα ακλόνητη στο σημείο Ο.

Δίνεται k_c=9∙10⁹Ν∙m²/C², ενώ οι ακτίνες των σφαιρών θεωρούνται αμελητέες.

Απάντηση:

ή

Μια φορτισμένη σφαίρα σε κίνηση.

Γύρω γύρω όλοι.

Στο διπλανό σχήμα βλέπουμε δύο σφαίρες Σ₁ και Σ₂ με μάζες m₁ = 2,5 kg και m₂ = 1 kg αντίστοιχα. Βάλουμε τις δύο σφαίρες ταυτόχρονα σε κίνηση την Σ₂ πάνω στο λείο τραπέζι και την Σ₁ ακριβώς από κάτω. Το μήκος του νήματος που είναι δεμένες οι δύο σφαίρες είναι ℓ = 2,8 m και η σφαίρα Σ₁ περιστρέφεται σχηματίζοντας γωνία φ (ημφ = 0,6, συνφ = 0,8) με ταχύτητα μέτρου υ₁ = 3 m/s.

α. το μήκος του νήματος που βρίσκεται κάτω από το τραπέζι

β. την κινητική ενέργεια της σφαίρας Σ₂

Εφαρμογές μεγάλης και μικρής κλίμακας στην «ομαλή» κυκλική κίνηση

Εφαρμογές μεγάλης και μικρής κλίμακας στην «ομαλή» κυκλική κίνηση

Μετά την κατηφόρα μπαίνει σε κυκλική τροχιά.

Ένα μικρό σώμα μάζας 0,2kg αφήνεται στη θέση Α, να ολισθήσει κατά μήκος ενός λείου κεκλιμένου επιπέδου κλίσεως θ, όπου ημθ=0,6 και συνθ=0,8. Φτάνοντας στο σημείο Β, σε κατακόρυφη απόσταση h=1,25m,  συναντά μια λεία κυκλική τροχιά, κέντρου Ο και ακτίνας R=0,5m στην οποία συνεχίζει την κίνησή του. Η ακτίνα ΟΒ είναι κάθετη στο κεκλιμένο επίπεδο.

i)   Να υπολογιστεί η επιτάχυνση του σώματος στη διάρκεια της κίνησής στο κεκλιμένο επίπεδο, καθώς και η δύναμη που δέχεται από το επίπεδο.

ii)   Με ποια ταχύτητα φτάνει το σώμα στο σημείο Β;

iii)  Να υπολογιστεί το μέτρο της δύναμης που δέχεται το σώμα στη θέση Β, αμέσως μόλις μπει στην κυκλική τροχιά.

iv)  Πόση δύναμη δέχεται το σώμα από την τροχιά, μόλις φτάσει στο σημείο Γ, όπου η ακτίνα ΟΓ είναι οριζόντια, και σε ποιο ύψος πάνω από το σημείο Γ θα φτάσει το σώμα;

Απάντηση:

ή

	Μετά την κατηφόρα μπαίνει σε κυκλική τροχιά.

Ένα σώμα στο άκρο νήματος.

Ένα μικρό σώμα μάζας 0,2kg ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Δένουμε το σώμα με ένα αβαρές οριζόντιο νήμα μήκους L, στο άλλο άκρο του οποίου ασκούμε μια σταθερή οριζόντια δύναμη μέτρου F=0,4Ν, τραβώντας το σώμα, τη στιγμή t₀=0. Τη χρονική στιγμή t₁=4s, παύουμε να τραβάμε το νήμα, το ελεύθερο άκρο του οποίου στερεώνουμε σε σταθερό σημείο Ο του οριζοντίου επιπέδου τη στιγμή t₂=5s, σε τέτοια θέση, έτσι ώστε το νήμα να είναι κάθετο στην ταχύτητα του σώματος, όπως στο σχήμα, οπότε το σώμα συνεχίζει να κινείται σε οριζόντια κυκλική τροχιά ακτίνας L. Αν η τάση του νήματος στη διάρκεια της κυκλικής κίνησης είναι δεκαπλάσια της τάσης κατά την ευθύγραμμη κίνηση, να βρεθούν:

i)  Το μέτρο της ταχύτητας κατά τη διάρκεια της κυκλικής κίνησης.

ii) Το διάστημα που διανύει το σώμα από τη στιγμή t_ο μέχρι τη χρονική στιγμή t₃=8s.

iii) Το μήκος του νήματος.

iv) Το έργο της τάσης του νήματος στα χρονικά διαστήματα:

α) από 0-4s

β) Από 5s-9s

Απάντηση:

ή

	Ένα σώμα στο άκρο νήματος.

Ποια η ελάχιστη και ποια η μέγιστη απόσταση από τον άξονα;

Ο κώνος του σχήματος περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα 4 rad/s περί κατακόρυφο άξονα.

Το σώμα Σ περιστρέφεται χωρίς να ολισθαίνει στην εσωτερική του επιφάνεια. Παρουσιάζει με τον κώνο τριβή με συντελεστή μ = 0,5. Μεταξύ ποιων ορίων κυμαίνεται η απόστασή του από τον άξονα περιστροφής;

Απάντηση:

Το «Μολών Λαβέ», η «vis centripeta» και η κεντρο-μόλος επιτάχυνση

Το «Μολών Λαβέ»,  η «vis centripeta»  και η κεντρο-μόλος επιτάχυνση

Οριζόντια βολή με κάθετη προσγείωση σε κεκλιμένο επίπεδο.

Από την κορυφή λείου κεκλιμένου επιπέδου αφήνουμε σώμα το οποίο όταν φτάνει στην βάση του εισέρχεται  στο λείο ημικύκλιο του σχήματος. Στο ανώτερο σημείο Α η δύναμη που δέχεται το σώμα από το ημικύκλιο έχει μέτρο F_A = 3mg, όπου m η μάζα του σώματος. Από το σημείο Α και μετά το σώμα εκτελεί οριζόντια βολή και την στιγμή που συγκρούεται με το κεκλιμένο επίπεδο η ταχύτητά του είναι κάθετη σε αυτό.

Το ημικύκλιο έχει ακτίνα R η οποία να θεωρηθεί γνωστή και η γωνία του κεκλιμένου επιπέδου είναι φ = 60⁰, επίσης η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι g.

α. Να βρεθεί το ύψος Η από το οποίο αφήσαμε το σώμα .

β. Να βρεθεί το χρονικό διάστημα της οριζόντιας βολής  .

γ. Σε πόσο ύψος h₁ από το έδαφος βρίσκεται το σημείο σύγκρουσης του σώματος με το κεκλιμένο επίπεδο ;

δ. Την στιγμή που ξεκινά η οριζόντια βολή από την κορυφή του κεκλιμένου επιπέδου και από ύψος Η εκτοξεύουμε δεύτερο σώμα με αρχική ταχύτητα υ₀ παράλληλη στο κεκλιμένο επίπεδο ,έτσι ώστε να συναντήσει το πρώτο σώμα την στιγμή που συγκρούεται με  το κεκλιμένο επίπεδο. Να βρεθεί η ταχύτητα υ₀.

Η συνέχεια εδώ

Μια οριζόντια βολή ένα βράδυ του Αυγούστου...

Μια παρέα φίλων ένα βράδυ του Αυγούστου , το διασκέδαζαν για τα καλά στην ταράτσα μιας πολυκατοικίας. Κάποιος απ’ αυτούς ήρθε στο κέφι , και άρχισε να πυροβολεί στον αέρα με ένα αεροβόλο όπλο , χωρίς τη συναίσθηση της ζημιάς που θα μπορούσε να προκαλέσει με την πράξη του αυτή.

Μια αδέσποτη σφαίρα  μάζας m =0, 08kg  , εκτοξεύτηκε  οριζόντια από την άκρη της  ταράτσας  με αρχική ταχύτητα μέτρου υ_o = 10m/s,  και στην πορεία της βρήκε τη πλάγια στέγη του διπλανού κτιρίου.

Αν  η απόσταση του σημείου πρόσκρουσης της σφαίρας  στη στέγη ,  από το σημείο Ο που το πλάγιο επίπεδό της  τέμνει την κατακόρυφο που περνά από το σημείο βολής είναι  d = 20/3 m ,  και η γωνία που σχηματίζει η στέγη  με το οριζόντιο επίπεδο είναι 30^o,  όπως δείχνει το σχήμα,  να υπολογίσετε:

i.    Πόσο χρόνο κινήθηκε η σφαίρα από την άκρη της ταράτσας μέχρι να πέσει πάνω στη στέγη.

ii.  Την γωνία της ταχύτητας της σφαίρας με το επίπεδο της στέγης στο σημείο της πρόσκρουσης.

iii. Την ταχύτητα της σφαίρας όταν έπεσε στη στέγη.

iv. Το πάχος που έπρεπε να έχει στέγη για να μην εισχωρήσει η σφαίρα μέσα στο ξένο σπίτι,  αν αυτή θεωρηθεί συμπαγής και ομογενής, και τέτοια που να ασκεί σταθερή δύναμη μέτρου F = 32,8 N διαρκώς αντίθετη στη ταχύτητα της σφαίρας.

Η αντίσταση του αέρα να θεωρηθεί αμελητέα και g = 10m/s² .

Απάντηση ΕΔΩ

Μια μεταβαλλόμενη κυκλική κίνηση. Φ.Ε.

A) Ένα σώμα ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Σε μια στιγμή ασκείται πάνω του μια οριζόντια σταθερή δύναμη F, όπως στο σχήμα.

i)  Σε ποια διεύθυνση θα κινηθεί το σώμα;

ii)  Η επιτάχυνση που θα αποκτήσει το σώμα θα μεταβάλλει:

α) Μόνο το μέτρο της ταχύτητας.

β) Μόνο την κατεύθυνση της ταχύτητας.

γ) Και το μέτρο και την κατεύθυνση της ταχύτητας.

Β) Ένα σώμα μάζας 2kg ηρεμεί στο κάτω άκρο νήματος μήκους L=2m, το άλλο άκρο του οποίου έχει δεθεί σε σταθερό σημείο Ο. Εκτρέπουμε το σώμα ώστε το νήμα να γίνει οριζόντιο, όπως στο σχήμα (θέση Α),  και το αφήνουμε να κινηθεί. Δίνεται g=10m/s².

i)  Να σχεδιάσετε τις δυνάμεις που ασκούνται στο σώμα, αμέσως μόλις αφεθεί να κινηθεί, στη θέση Α και να υπολογιστούν τα μέτρα τους.

Η συνέχεια...

	Εκφώνηση        Απάντηση

Και η επιτάχυνση μεταβάλλεται.

Σε ένα μικρό σώμα μέσω του έργου του μεταβιβάζουμε ενέργεια και αυτό κινείται έτσι ώστε η τροχιά του να είναι κυκλική. Κάθε 2 s το μέτρο της μεταβολή της γραμμικής του ταχύτητας του γίνεται μέγιστο, ενώ σε οποιοδήποτε χρονικό διάστημα η μεταβολή του μέτρου της γραμμικής ταχύτητας είναι μηδέν. Η κυκλική τροχιά είναι τέτοια ώστε κάθε τόξο επίκεντρης γωνίας 60^ο να έχει χορδή μήκους 6 m. Η απαραίτητη κεντρομόλος δύναμη που χρειάζεται για να κινείται σ’ αυτή την τροχιά είναι F_κ = 30 N.

α. να αιτιολογήσετε γιατί η κίνηση είναι ομαλή κυκλική.

β. να υπολογίσετε το μέτρο της μεταβολής της κεντρομόλου επιτάχυνσης σε χρονικό διάστημα 1 s.